第八届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）

试卷链接
因为好不容易有一套自己会做的稍微多一点的题，发出来纪念一下。

一、填空题

1.

导数的定义。

2.

导数的定义。

3.

$$
y’+P(x)y=Q(x) \\
y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)
$$

4.

$$
f^{(n)}(0)=A\cdot n!
$$
其中$A$是$f(x)$的麦克劳林展开式中$x^n$项的系数。

5.

想不起来曲面切平面怎么求可以拿平面试一下。

第二题：

一直求导直到做出来为止，高中难度。

第三题：

换元把椭球换成球。三重积分的换元公式：
$$
M = \iiint (x^2+y^2+z^2)dxdydz=\iiint F(u,v,w)\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|dudvdw
$$
$$
\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=\left|
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \\
\end{array}
\right|
$$
换元之后注意利用对称性。

第四题，第五题

过于巧妙，感觉自己能做到的只有记住傅立叶级数。

• 傅里叶级数
  $$
  f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos\frac{2\pi n}{T}x+b_n\sin\frac{2\pi n}{T}x] \\
  a_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(x)\cos\frac{2\pi n}{T}xdx \\
  b_n = \frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(x)\sin\frac{2\pi n}{T}xdx
  $$